Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在区间x∈[$\frac{1}{2}$，b]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在区间x∈[$\frac{1}{2}$，b]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，则$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}\\ f（b）=2\\ b＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，解得a，b的值．

解答 （1）证明：∵函数f（x）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}$（a＞0，x＞0）．
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）解：若f（x）在区间x∈[$\frac{1}{2}$，b]上的值域是[$\frac{1}{2}$，2]，
则$\left\{\begin{array}{l}f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}\\ f（b）=2\\ b＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}-2=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2\\ b＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{2}{5}$，b=2．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数单调性的判断与证明，难度中档．