Question

1．一个正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在过该球球心的一个截面上，则该正三棱锥的体积是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 作棱锥的高OP，则OP=OC=1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积．

解答 解设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CD=$\frac{3}{2}$OC．
∵O是三棱锥P-ABC的外接球球心，
∴OP=OC=1，
∴CD=$\frac{3}{2}$，∴BC=$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OP$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于中档题．