Question

10．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4$\sqrt{2a}$，Q=$\frac{1}{4}$a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（50）的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？

Answer 1

分析 （1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．
（2）$f（x）=80+4\sqrt{2x}+\frac{1}{4}（{200-x}）+120=-\frac{1}{4}x+4\sqrt{2x}+250$，依题意得$\left\{\begin{array}{l}x≥20\\ 200-x≥20\end{array}\right.⇒20≤x≤180$，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，
∴$f（{50}）=80+4\sqrt{2×50}+\frac{1}{4}×150+120=277.5$万元．
（2）$f（x）=80+4\sqrt{2x}+\frac{1}{4}（{200-x}）+120=-\frac{1}{4}x+4\sqrt{2x}+250$，依题意得$\left\{\begin{array}{l}x≥20\\ 200-x≥20\end{array}\right.⇒20≤x≤180$，
故$f（x）=-\frac{1}{4}x+4\sqrt{2x}+250（{20≤x≤180}）$．
令$t=\sqrt{x}∈[{2\sqrt{5}，6\sqrt{5}}]$，则$f（x）=-\frac{1}{4}{t^2}+4\sqrt{2}t+250=-\frac{1}{4}{（{t-8\sqrt{2}}）^2}+282$，
当$t=8\sqrt{2}$，即x=128时，f（x）_max=282万元．
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．

点评 本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．