Question

12．已知函数f（x）=lnx-ax²+1．
（1）若函数在x=4时取得极值，求a的值．
（2）若函数f（x）在区间（3，+∞）内单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，由函数在x=4时取得极值，即f′（4）=0，即可求得a的值；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，由题意可知$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$＜0在区间（3，+∞）恒成立，a＞$\frac{1}{2{x}^{2}}$在区间（3，+∞）恒成立，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=lnx-ax²+1，x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax，
由函数在x=4时取得极值，即f′（4）=0，
∴$\frac{1}{4}$-2a×4=0，解得：a=$\frac{1}{32}$，
∴a的值$\frac{1}{32}$．
（2）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，x∈（0，+∞），
∴$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$＜0在区间（3，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{1}{2{x}^{2}}$在区间（3，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{1}{18}$，
∴a的取值范围（$\frac{1}{18}$，+∞）．

点评 本题考查利用导数求函数的切线方程的斜率，利用导数研究函数的单调性及函数的单调性的性质，属于中档题．