Question

10．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按
如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数，并估计这次百米测试成绩的中位数（精确到0.01）；
（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m-n|＞1”的概率．

Answer 1

分析 （1）由直方图知，求出成绩在[14，16）内的人数，从而得到该班成绩良好的人数，由频率分布直方图能估计这次百米测试成绩的中位数．
（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为3人，设为x，y，z；成绩在[17，18）的人数4人，设为A，B，C，D．由此利用列举法能求出事件“|m-n|＞1”的概率．

解答 解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人）
所以该班成绩良好的人数为27人．┉┉┉┉（2分）
∵成绩在[13，15）内的频率为0.06+0.16=0.22，
成绩在[15，16）内的频率为0.38，
∴估计这次百米测试成绩的中位数为：
15+$\frac{0.5-0.22}{0.38}$×1≈15.74．┉┉┉┉（4分）
（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，设为x，y，z；
成绩在[17，18）的人数为50×0.08=4人，设为A，B，C，D．
若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz3种情况，（5分）
若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况┉（7分）
若m，n分别在[13，14）和[17，18）内时，

	A	B	C	D
x	xA	xB	xC	xD
y	yA	yB	yC	yD
z	zA	zB	zC	zD

共有12种情况．┉（9分）
所以基本事件总数为21种．
记事件“|m-n|＞1”为事件E，则事件E所包含的基本事件个数有12种．┉┉（10分）
∴即事件“|m-n|＞1”的概率为p=$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$．…（12分）

点评 本题考查该班在这次百米测试中成绩良好的人数的求法，估计这次百米测试成绩的中位数，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意频率分布直方图的应用和列举法的合理运用．