Question

已知正三棱锥P-ABC侧棱长为1，且PA、PB、PC两两垂直，以顶点A为球心，

2 3

3

为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为

3

2

π

．

Answer 1

分析：设以顶点A为球心，

2 3

3

为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是EFNM，如图所示．正确分析与各面的交线结合弧长公式即可求出答案．

解答：解：设以顶点A为球心，

2 3

3

为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是EFNM，如图所示．
则AE=AF=AM=AN=

2 3

3

，
在直角三角形APE中，cos∠PAE=

1

2 3 3

=

3

2

，∴∠PAE=

π

6

，
∴

ME

=（

π

4

-

π

6

）×

2 3

3

=

3 π

18

，
同理

NF

=

3 π

18

；
在直角三角形PBC中，∠BPC=

π

2

，PE=PF=

3

3

，
∴

EF

=

π

2

×

3

3

=

3 π

6

，
在等边三角形ABC中，MN=AM=

2 3

3

，∠MAN=

π

3

，
∴

MN

=

π

3

×

2 3

3

=

2 3 π

9

．
则这条封闭曲线的长度为

ME

+

NF

+

EF

+

MN

=

3

2

π．
故答案为：

3

2

π．

点评：本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．