Question

11．将椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，所得曲线的方程为x²+y²=4．

Answer 1

分析 设P（x′，y′）为所求曲线的任意一点，由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，代入椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$方程即可得出．

解答 解：设P（x′，y′）为所求曲线的任意一点，由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{{y}^{′}}{2}}\end{array}\right.$，
代入椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$方程可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}$+$（\frac{{y}^{′}}{2}）^{2}$=1，化为：（x′）²+（y′）²=4，
即所求的曲线方程为：x²+y²=4．
故答案为：x²+y²=4．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．