Question

一片森林面积为a，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到面积的一半时，所用时间是T年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的

1

4

．已知到今年为止，森林剩余面积为原来的

2

2

．
（1）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（2）今后最多还能砍伐多少年？

Answer 1

分析：（1）先设每年降低的百分比为x（0＜x＜1），再设经过M年剩余面积为原来的

2

2

．根据题意：“到今年为止，森林剩余面积为原来的

2

2

．“列出关于M的等式即可解决问题；
（2）根据题意设从今年开始，以后砍了N年，再求出再砍伐N年后剩余面积，由题意，建立关于N的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．

解答：解：设每年降低的百分比为x（0＜x＜1）
（1）设经过M年剩余面积为原来的

2

2

．
则a(1-x) T=

1

2

a?Tlg(1-x)=lg

1

2

．
又a(1-x)M=

2

2

a?Mlg(1-x)=lg

2

2

．
∴

T

M

=log

2

2

1

2

=2?M=

T

2

，
∴到今年为止，已砍伐了

T

2

年．

（2）设从今年开始，以后砍了N年，则再砍伐N年后剩余面积为

2

2

a(1-x)N．
由题意，有

2

2

a(1-x)N≥

1

4

a，即

2

2

(1-x)N≥

1

4

由（1）知(1-x)T=

1

2

?1-x=(

1

2

)

1

T

．∴

2

2

•(

1

2

)

N

T

≥

1

4

．
化为(

1

2

)

N

T

≥

1

2 2

=(

1

2

)

3

2

∴

N

T

≤

3

2

?N≤

3

2

T
故今后最多还能砍伐

3

2

T年．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：
（1）阅读理解，认真审题；
（2）引进数学符号，建立数学模型；
（3）利用数学的方法，得到数学结果；
（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．