Question

已知椭圆E：＋y2＝1(a＞1)的上顶点为M(0，1)，两条过M的动弦MA、MB满足MA⊥MB.

(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求椭圆E的方程；

(2)若Rt△MAB面积的最大值为，求a；

(3)对于给定的实数a(a＞1)，动直线AB是否经过一定点？如果经过，求出定点坐标(用a表示)；反之，说明理由．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）a＝3（3）

【解析】(1)由题，a2＝c2＋1，d＝＝＝c＋≥2，当c＝1时取等号，此时a2＝1＋1＝2，故椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)不妨设直线MA的斜率k>0，直线MA方程为y＝kx＋1，由

①代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，

解得xA＝－，故A，

由MA⊥MB知直线MB的斜率为－，可得B，

则MA＝，MB＝.

则S△MAB＝MA·MB＝(1＋k2)

＝.

令k＋＝t(t≥2)，

则S△MAB＝.

当t＝时取“＝”，∵t＝≥2，得a>＋1.而(S△MAB)max＝，故a＝3或a＝(舍)．综上a＝3.

(3)由对称性，若存在定点，则必在y轴上．

当k＝1时，A，直线AB过定点Q.下面证明A、Q、B三点共线：

∵kAQ＝，

kBQ＝.

由kAQ＝kBQ知A、Q、B三点共线，即直线AB过定点Q.