Question

10．△ABC内一点O，OA=OB=2，OC=3$\sqrt{2}$，△ABC的面积最大值为$\frac{7\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 当△ABC的面积取最大值时，OC与OA，OB的夹角相等，设∠AOC=∠BOC=α，则∠AOB=2π-2α，求出S的表达式，利用导数法求出最值，可得答案．

解答 解：当△ABC的面积取最大值时，OC与OA，OB的夹角相等；
设∠AOC=∠BOC=α，∠AOB=2π-2α，
∵OA=OB=2，OC=3$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$OA•OB•sin（2π-2α）+$\frac{1}{2}$OA•OC•sinα+$\frac{1}{2}$OC•OB•sinα
=6$\sqrt{2}$sinα-2sin2α
则S′=6$\sqrt{2}$cosα-4cos2α=6$\sqrt{2}$cosα-8cos²α+4，
仅S′=0，则cosα=1（舍去），或cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即当cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，S取最大值，此时sinα=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，sin2α=$-\frac{\sqrt{7}}{4}$
即S的最大值为：$\frac{7\sqrt{7}}{2}$
故答案为：$\frac{7\sqrt{7}}{2}$

点评 本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，三角形面积公式，转化困难，难度较大．