Question

已知在x=2处取到极小值．
（1）求a，b的值； 
（2）若 对x∈[-4，3]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导．令f′（x）=0，根据f（x）在x=2取到极小值-列出关于a，b的方程即可求得a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=-4x+4，令f'（x）=0得x=±2，列表判断极大值极小值点，再根据f（x）在[-4，3]上最大值为得到关于m的不等关系，解此不等关系即可求得实数m的取值范围．
解答：解：（1）依题意，得f'（x）=x²+a
∵f（x）在x=2取到极小值-
∴
∴
得：．
（2）由（1）可知f（x）=-4x+4，令f'（x）=0得x=±2

x	（-4，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

又f（-4）=-，f（3）=1，
∴f（x）在[-4，3]上最大值为
由f（x）≤m²+m+
⇒m≥2或m≤-3．即为实数m的取值范围．
点评：在高中阶段，导数是研究函数性质的重要而有效的工具之一，包括函数的单调性，极值，最值等，本题就是利用导函数研究函数的极值．近两年的高考题中，对导数部分的考查是越来越常见，其重要性也不言而喻．