Question

19．已知曲线f（x）=axlnx+bx在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对?x≥1，不等式f（x）≤m（x²-1）（m＞0）恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）将（1，f（1））代入切线方程求出a的值，求出f（x）的导数，得到f′（1）=1，求出b的值，从而求出函数的解析式；
（2）构造函数g（x）=xlnx-m（x²-1），（x≥1），只需g（x）_max≤0成立即可，求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的最大值，从而求出m的最小值即可．

解答 解：（1）将（1，f（1））代入切线方程得：f（1）=0，
又f（1）=b，故b=0，
又f′（x）=a（lnx+1）+b，故f′（1）=1，
即a+b=1，∴a=1，
故f（x）=xlnx；
（2）原问题等价于对?x≥1，xlnx-m（x²-1）≤0恒成立，
求实数m的最小值，
构造函数g（x）=xlnx-m（x²-1），（x≥1），
只需g（x）_max≤0成立即可，
g′（x）=lnx-2mx+1，
g″（x）=$\frac{1-2mx}{x}$，
0＜m＜$\frac{1}{2}$时，对于x∈[1，$\frac{1}{2m}$），g″（x）＞0，
g′（x）在[1，$\frac{1}{2m}$）递增，g′（x）≥g′（1）=1-2m＞0，
则函数g（x）在[1，$\frac{1}{2m}$）递增，即g（1）=0，
故0≤g（x）＜g（$\frac{1}{2m}$），与已知矛盾，
m≥$\frac{1}{2}$时，对于x∈（1，+∞），函数g″（x）＜0恒成立，
则g′（x）在区间（1，+∞）递减，
则g′（x）＜g′（1）=1-2m≤0，
则函数g（x）在区间[1，+∞）递减，
故g（x）≤g（1）=0恒成立，
综上，对?x≥1，f（x）≤m（x²-1）恒成立，
则实数m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞），
故实数m的最小值是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．