Question

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交BC于D，交△ABC的外接圆于E．
（1）求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$；
（2）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）过D作DM∥AB交AC于M，连接BE，利用平行线的性质，结合三角形的角平分线性质，即可得证；
（2）先求出DC，再利用三角形相似得出AD•（AD+DE）=AB•AC，即可求AD的长．

解答 （1）证明：如图，过D作DM∥AB交AC于M，连接BE．
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AM}{MC}①$
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
又DM∥AB，∴∠BAD=∠ADM，∴∠CAD=∠ADM．
∴AM=MD．
∴$\frac{MD}{AB}=\frac{CM}{AC}⇒\frac{AB}{AC}=\frac{MD}{CM}=\frac{AM}{CM}②$，
由①②知$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$…（5分）
（2）解：∵AD•DE=BD•DC，
又$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}⇒DC=\frac{2×1}{3}=\frac{2}{3}$，
∵△ADC∽△ABE．
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$，∴AD•AE=AB•AC，
∴AD•（AD+DE）=AB•AC，
∴$A{D^2}=AB•AC-AD•DE=AB•AC-BD•DC=3×2-1×\frac{2}{3}=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$，
∴$AD=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$…（10分）

点评 本题考查平行线的性质，三角形的角平分线性质，考查三角形相似性质的运用，属于中档题．