Question

12．已知函数f（x）=（x²-3）e^x，设关于x的方程f²（x）-af（x）=0有3个不同的实数根，则a的取值范围为a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，作出f（x）的图象，根据f（x）=0的根的个数判断f（x）=a的根的个数，从而得出a的范围．

解答 解：f′（x）=2x•e^x+（x²-3）e^x=e^x（x²+2x-3），
令f′（x）=0得x=1或x=-3，
∴当x＜-3或x＞1时，f′（x）＞0，当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-3）上单调递增，在（-3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=-3时，f（x）取得极大值$\frac{6}{{e}^{3}}$，当x=1时，f（x）取得极小值-2e，
作出f（x）的函数图形如图所示：

由f²（x）-af（x）=0得f（x）=0或f（x）=a，
由图象可知f（x）=0有两解，∴f（x）=a只有一解，
∴a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．
故答案为：a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．

点评 本题考查了方程根与函数图形的关系，函数单调性的判定与极值计算，属于中档题．