Question

14．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-x，x＜0\\|{lnx}|，x＞0\end{array}\right.$，则关于x的方程[f（x）]²-f（x）+a=0（a∈R）的实数解的个数不可能是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，做出f（x）的草图，得出f（x）=t的根的情况，根据方程t²-t+a=0不可能有两个负根得出结论．

解答 解：当x＜0时，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
当x＞0时，f（x）=|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
做出f（x）的大致函数图象如图所示：

设f（x）=t，则当t＜0时，方程f（x）=t有一解，
当t=0时，方程f（x）=t有两解，
当t＞0时，方程f（x）=t有三解．
由[f（x）]²-f（x）+a=0，得t²-t+a=0，
若方程t²-t+a=0有两解t₁，t₂，则t₁+t₂=1，
∴方程t²-t+a=0不可能有两个负实数根，
∴方程[f（x）]²-f（x）+a=0不可能有2个解．
故选A．

点评 本题考查了函数单调性的判断，根的存在性判断，一元二次方程的根的个数判断，属于中档题．