Question

1．.已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x，x∈R．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的取值集合．
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得f（x）的最大值及相应的x的取值集合．
（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
当2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$，即$x=kπ+\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值3．
∴f（x）的最大值为3，相应的x的取值集合为$\left\{{x\left|{x=\frac{π}{6}+kπ，k∈z}\right.}\right\}$．
（2）解不等式$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈z），求得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的递增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值以及单调性，属于中档题．