Question

7．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，以OF₂为直径的圆交双曲线于A，B两点，若△F₁AB的外接圆过点（$\frac{4\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{5}$，0），则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 设双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），分别求出OF₂为直径的圆的方程和外接圆的直径为F₁M，
运用两圆方程求得交点A，B，代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：设双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
OF₂为直径的圆的方程为（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
由△F₁AB的外接圆过点M（$\frac{4\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{5}$，0），即M（$\frac{4}{5}$c，0），
即有外接圆的直径为F₁M，
可得圆的方程为（x+$\frac{c}{10}$）²+y²=$\frac{81{c}^{2}}{100}$，
两圆的方程相减可得x=$\frac{2}{3}$c，
代入圆的方程可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，
可设A（$\frac{2}{3}$c，$\frac{\sqrt{2}}{3}$c），代入双曲线的方程可得
$\frac{4}{9}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{9}$•$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，
可得4e⁴-15e²+9=0，
解得e²=3或$\frac{3}{4}$（舍去），
即有e=$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆的方程的求法，以及联立两圆方程，求交点，由点满足双曲线的方程，运用离心率公式是解题的关键，属于中档题．