Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线l：y=k（x+3），
（1）若直线l与C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围；
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，直线l截椭圆C的弦长．

Answer 1

分析 （1）联立方程组消元，令判别式△＞0即可；
（2）联立方程组消元，得出交点坐标的关系，代入弦长公式计算．

解答 解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+3）}\end{array}\right.$，消元得（3+4k²）x²+24k²x+36k²-12=0，
∵直线l与C有两个不同的公共点，
∴△=576k⁴-4（3+4k²）（36k²-12）＞0，
解得：$-\frac{3}{5}＜k＜\frac{3}{5}$．
（2）k=$\frac{1}{2}$时，直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$（x+3）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{1}{2}（x+3）}\end{array}\right.$，消元得4x²+6x-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4}$．
∴直线l截椭圆C的弦长为$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\sqrt{\frac{9}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{105}}{4}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式，属于中档题．