Question

19．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，AD是BC边上的中线，且G点为△ABC的重心，若S_△ABC=$\sqrt{3}$，sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A，求|AG|的最小值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A，利用正弦定理可得：b²+c²+bc=a²，再利用余弦定理可得A=$\frac{2π}{3}$．由S_△ABC=$\sqrt{3}$，可得：$\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，可得bc=4．
设|AD|=m．由中线长定理可得：b²+c²=2m²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：在△ABC中，由sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A，利用正弦定理可得：b²+c²+bc=a²，
利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$．
由S_△ABC=$\sqrt{3}$，可得：$\frac{1}{2}bcsin\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，
可得bc=4．
设|AD|=m．
由中线长定理可得：b²+c²=2m²+$\frac{{a}^{2}}{2}$=2m²+$\frac{1}{2}$（b²+c²+bc），
化为：2m²=$\frac{1}{2}（{b}^{2}+{c}^{2}-bc）$≥$\frac{1}{2}$bc=2．
∴m≥1，
∴|AG|=$\frac{2}{3}$m≥$\frac{2}{3}$，其最小值为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、中线长定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．