Question

1．已知函数$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x+a$（a为常数）
（1）证明函数f（x）在定义域上单调递增；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=kx-1，求a．

Answer 1

分析 （1）求得函数f（x）的导数，配方即可得到f（x）的单调性；
（2）求得函数的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得k，a的值．

解答 解：（1）证明：函数$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x+a$的导数为
f′（x）=3x²-x+3=3（x-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{35}{12}$，
可得f′（x）＞0恒成立，
即有函数f（x）在定义域上单调递增；
（2）由f′（x）=3x²-x+3，可得
函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=f′（1）=5，
切点为（1，a+$\frac{7}{2}$），即有a+$\frac{7}{2}$=5-1=4，
解得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于基础题．