Question

11．函数f（x）=msinx+2ncos²$\frac{x}{2}$-n在x=$\frac{π}{4}$时取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+n）（m≠0），将函数f（x）图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{ω}$倍（ω＞O，纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间（$\frac{π}{2}$，π）内单调递减，则ω的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 利用两角和的正弦函数公式化简可得解析式f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（x+φ），由题意f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+n）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$＜0，可得m=n＜0，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），根据已知及正弦函数的单调性可得$\frac{2π}{ω}$≥2×$\frac{π}{2}$，解得ω≤2，又由2kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0＜ω≤2}{\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≤\frac{π}{2}}}\\{\frac{5π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≥π}\end{array}\right.$，进而解得ω的取值范围．

解答 解：∵f（x）=msinx+2ncos²$\frac{x}{2}$-n=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（x+φ），
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+n）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$＜0，平方可得：m=n＜0，
∴f（x）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴将函数f（x）图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{ω}$倍（ω＞O，纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，可得：g（x）=-$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∵g（x）在区间（$\frac{π}{2}$，π）内单调递减，
∴y=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）在区间（$\frac{π}{2}$，π）内单调递减，$\frac{2π}{ω}$≥2×$\frac{π}{2}$，解得：ω≤2，
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），解得：$\frac{π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{5π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，
∴则有$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0＜ω≤2}{\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≤\frac{π}{2}}}\\{\frac{5π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≥π}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜ω≤2}\\{4k+\frac{1}{2}≤ω≤\frac{5}{4}+2k，k∈Z}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}≤$ω≤$\frac{1}{4}$．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，两角和的正弦函数公式的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．