Question

20．已知f（x）=alog₂x-x-3a，若对任意的x∈（0，b]，任意a∈（-∞，-1]，不等式f（x）≥0恒成立，则实数b的取值范围是（0，2]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到f（x）在（0，b]递减，问题转化为${log}_{2}^{b}$-b-3a≥-${log}_{2}^{b}$-b+3≥0，解出即可．

解答 解：∵a∈（-∞，-1]，
∴f′（x）=$\frac{a}{xln2}$-1＜0，
∴f（x）在（0，b]递减，
f（x）_min=f（b）=a${log}_{2}^{b}$-b-3a≥-${log}_{2}^{b}$-b+3≥0，
∴${log}_{2}^{b}$+b-3≤0，解得；0＜b≤2，
故答案为：（0，2]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．