题目内容
4．某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为200元；若T＞3，则销售利润为400元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，又知p1，p2是方程20x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3，（1）求p1，p2，p3的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及均值．
分析 （1）利用p1+p2+p3=1，p1，p2是方程25x2-15x+a=0的两个根，且p2=p3，可求p1，p2，p3的值；
（2）ξ的可能取值为0，200，400，600，800，求出相应的概率，可得ξ的分布列；利用期望公式可求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值．
解答 （12分）
解：（1 ）由已知得p1+p2+p3=1，p2=p3，
∴p1+2p2=1，
∵p1，p2是方程20x2-15x+a=0 的两个根，
∴p1+p2=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$
∴p1=$\frac{1}{2}$，p2=$\frac{1}{4}$．p3=$\frac{1}{4}$．
（2）ξ的可能取值为0，200，400，600，800，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；P（ξ=200）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
P（ξ=400）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
P（ξ=600）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$；
P（ξ=800）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{16}$
随机变量ξ的分布列为
| ξ | 0 | 200 | 400 | 600 | 800 |
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{16}$ |
Eξ=$0×\frac{1}{4}$+200×$\frac{1}{4}$+400×$\frac{1}{4}$+600×$\frac{1}{8}$+800×$\frac{1}{16}$=300
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为300元．
点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算概率是关键．
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| A． | a+$\frac{1}{a}$＞b+$\frac{1}{b}$ | B． | a+$\frac{1}{b}$＞b+$\frac{1}{a}$ | C． | $\frac{b}{a}$＞$\frac{b+1}{a+1}$ | D． | $\frac{2a-b}{a+2b}$＞$\frac{a}{b}$ |
9．已知随机变量ξ的分布列是：
则x=0.2，P（2≤ξ≤4）=0.7．
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | x |
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