Question

1．已知x，y∈R且x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1，则$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据式子的意义可得出x，y的范围，令x=sinα，y=sinβ，则$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosα，$\sqrt{1-{y}^{2}}$=cosβ，将原式化简得出α，β的关系，利用同角三角函数的关系得出答案．

解答 解：由式子有意义可得$\left\{\begin{array}{l}{1-{y}^{2}≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$．
由x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1可知：$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$．
设x=sinα，y=sinβ，α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]．
则$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosα，$\sqrt{1-{y}^{2}}$=cosβ，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=1，
∴α+β=$\frac{π}{2}$．
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}α+si{n}^{2}β}$=$\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=1．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，换元法思想，属于中档题．