Question

5．若a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，则角A的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围、辅助角公式化简，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A．

解答 解：由题意得，acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+c，
由正弦定理得，sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC
∵B=π-（A+C），∴sinB=sin（A+C），
代入上式化简得，$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC
∵0＜C＜π，即sinC≠0，∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，则sin（$A-\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
则$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查正弦定理，诱导公式、两角和与差的正弦公式的综合应用，注意内角的范围，考查化简、变形能力，属于中档题．