Question

13．如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，EF∥平面ABCD，M为FC的中点，AB=2，EF到平面ABCD的距离为2．
（1）证明：AF∥平面MBD；
（2）若AF⊥BD，点F在平面ABCD上的射影为点C，求二面角M-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，设AC与BD交于O点，则OM∥AF，由此能证明AF∥平面MBD．
（2）由OM∥AF，得OM⊥BD，又AC⊥BD，从而∠COM就是二面角M-BD-C的平面角．由此能求出二面角M-BD-C的余弦值．

解答 解：（1）证明：连接AC，设AC与BD交于O点，
在正方形ABCD中，O为AC的中点，
∵M是FC的中点，∴OM∥AF，
∵AF?平面MBD，OM⊆平面MBD，
∴AF∥平面MBD．
（2）由（1）知OM∥AF，
∵AF⊥BD，∴OM⊥BD，
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠COM就是二面角M-BD-C的平面角．
$MC=\frac{1}{2}FC=1$，
在正方形ABCD中，$OC=\sqrt{2}，OM=\sqrt{O{C^2}+C{M^2}}=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{1^2}}=\sqrt{3}$，
∴$cos∠MOC=\frac{OC}{OM}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
∴二面角M-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．