Question

16．已知${2^{\frac{1}{x}}}≥{x^a}$对任意的x∈（0，1）都成立，则实数a的最小值为（　　）

• A． -e
• B． -eln2
• C． $-\frac{1}{e}$
• D． $-\frac{1}{eln2}$

Answer 1

分析 先根据对数的定义，得到$\frac{ln2}{xlnx}≤a$，构造函数设$f（x）=\frac{ln2}{xlnx}$，根据导数和函数的最小值的关系求出最大值，即可得到a的最小值．

解答 解：对${2^{\frac{1}{x}}}≥{x^a}$两边同时取以e为底的对数得$\frac{1}{x}ln2≥alnx$，由于x∈（0，1），则lnx＜0，
所以$\frac{ln2}{xlnx}≤a$，
设$f（x）=\frac{ln2}{xlnx}$，
则$f'（x）=-\frac{（1+lnx）×ln2}{{{{（xlnx）}^2}}}$，
则有

x	$（{0，\;\;\frac{1}{e}}）$	$\frac{1}{e}$	$（{\frac{1}{e}，\;\;1}）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值$f（{\frac{1}{e}}）$	单调递减

所以当x∈（0，1）时，$f（x）≤f（{\frac{1}{e}}）=-eln2$，
故a≥-eln2，
所以a的最小值为-eln2，
故选：B．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系以及参数的取值范围，构造函数是关键，属于中档题．