Question

9．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，点F在AA₁上，∠DAB=120°，AA₁=AB=3AF=3，$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}D}$（0＜λ＜1）．
（1）若CE∥平面BDF，求λ的值；
（2）求平面CDE与平面BDF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点G，连结AG，分别以AG、AD、AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．
（2）求出平面CDE的一个法向量和平面BDF的一个法向量，由此能求出平面CDE与平面BDF所成的锐二面角的余弦值．

解答 解：（1）如图所示，取BC中点G，连结AG，
∵∠DAB=120°，
∴AG⊥AD，又A₁A⊥面ABCD，
∴分别以AG、AD、AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，3，0），B（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），
C（$\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0$），F（0，0，1），A₁（0，0，3），
∴$\overrightarrow{DF}$=（0，-3，1），$\overrightarrow{DB}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{9}{2}$，0），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-3y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}x-\frac{9}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，3$），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=$λ\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，3λ，-3λ），则$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{C{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}+3λ$，3-3λ），
∵CE∥平面BDF，∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}$=-$\frac{9}{2}-\frac{3}{2}+3λ+9-9λ=0$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
（2）设平面CDE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{CD}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，3，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{13}•\sqrt{7}}$=$\frac{5\sqrt{273}}{91}$，
∴平面CDE与平面BDF所成的锐二面角的余弦值为$\frac{5\sqrt{273}}{91}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．