Question

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F₁PF₂=

π

3

，且△PF₁F₂的面积为2

3

，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

Answer 1

分析：根据点P是双曲线的左支上的一点，及双曲线的定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，由，∠F₁PF₂=

π

3

，且△PF₁F₂的面积为2

3

，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根据余弦定理可以求得a，c的一个方程，双曲线的离心率为2，根据双曲线的离心率的定义式，可以求得a，c的一个方程，解方程组即可求得该双曲线的方程．

解答：解：设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x₀，y₀）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理，得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos

π

3

=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|．
即4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|．
又∵S_△PF1F2=2

3

．
∴

1

2

|PF₁|•|PF₂|•sin

π

3

=2

3

．
∴|PF₁|•|PF₂|=8．∴4c²=4a²+8，即b²=2．
又∵e=

c

a

=2，∴a²=

2

3

．
∴双曲线的方程为：

3x2

2

-

y2

2

=1．

点评：此题是个中档题．考查双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形，解题过程注意整体代换的方法，简化计算．