Question

12．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．
（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；
（2）若EC=2，FD=3，求平面ADF与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BCDM是正方形，从而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能证明CM⊥平面BDF．
（2）建立以C为坐标原点，CB，CD，CE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD，
∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，
连接DM，则DM⊥AB，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，
∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，
∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．
∵CM?平面CFM．
∴平面CFM⊥平面BDF；
（2）建立以C为坐标原点，CB，CD，CE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵EC=2，FD=3，BC=CD=2，
∴B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（0，2，3），
则$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EF}$=（0，2，1），
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-$\frac{1}{2}$，z=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{1}{2}$，1），
由（1）知AD=BD，∠ABD=45°，则，∠ADB=90°，即AD⊥BD，
∵DF⊥BD，∴BD⊥平面ADF，
则$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0）是平面ADF的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BD}|}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则sin＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即平面ADF与平面BEF所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明以及二面角的求解，考查满足线面平行的点的位置的确定，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．