Question

20．如图，已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为2，以双曲线C的实轴为直径的圆记为圆O，过点F₂作圆O的切线，切点为P，则以F₁，F₂为焦点，过点P的椭圆T的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}-\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\sqrt{7}-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=2，求得c=2a，由b²=c²-a²=3a²，可得：丨PF₂丨=b，2（丨PF₁丨²+丨PF₂丨²）=（2丨OP丨）²+（2c）²，即可求得丨PF₁丨=$\sqrt{7}$a，根据椭圆的离心率e₁=$\frac{2c}{\sqrt{7}a+b}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$．

解答 解：由双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，由b²=c²-a²=3a²，
∵PF₂为圆O的切线，
在Rt△POF₂，丨PF₂丨=$\sqrt{丨O{F}_{2}{丨}^{2}-丨OP{丨}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=b，
∴2（丨PF₁丨²+丨PF₂丨²）=（2丨OP丨）²+（2c）²，
丨PF₁丨=$\sqrt{2{a}^{2}+2{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∴椭圆T的离心率为e₁=$\frac{2c}{\sqrt{7}a+b}$=$\frac{4a}{\sqrt{7}a+\sqrt{3}a}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查椭圆及双曲线的离心率公式，考查椭圆及双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中档题．