Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-（x+1）}^{2}+4p，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$且f[f（$\sqrt{2}$）]=$\frac{7}{4}$
（Ⅰ）求实数p的值；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0有3个不同的解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x∈[-1，16]时，f（x）≤n+1恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分段函数的解析式，可得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，解方程可得p=1；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，画出图象，f（x）-m=0有3个不同的解，即为y=f（x）与y=m有3个交点，由图象观察，即可得到所求m的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x∈[-1，16]时，f（x）∈[0，4]．由题意可得n+1≥f（x）_max=4，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f[f（$\sqrt{2}$）]=$\frac{7}{4}$，即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，
∴-（$\frac{1}{2}$+1）²+4p=$\frac{7}{4}$，∴p=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}+4，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$，
其大致图象如右：
f（x）-m=0有3个不同的解，即为y=f（x）与y=m有3个交点，
∴实数m的取值范围为0＜m＜4；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x∈[-1，16]时，f（x）∈[0，4]．
∵x∈[-1，16]时，f（x）≤n+1恒成立．
∴n+1≥f（x）_max=4，即有n≥3．
即实数n的取值范围为[3，+∞）．

点评 本题考查分段函数的图象和运用，考查不等式恒成立问题的解法，以及函数方程的转化思想的运用，属于中档题．