Question

已知函数(其中)，为f(x)的导函数.

（1）求证：曲线y=在点(1，)处的切线不过点(2，0)；

（2）若在区间中存在，使得，求的取值范围；

（3）若，试证明：对任意，恒成立.

 

Answer 1

（1）参考解析；（2）； （3）参考解析

【解析】

试题分析：（1）由函数(其中)，求出，由于求y=在点(1，)处的切线方程，由点斜式可得结论.

（2）由，再利用分离变量即可得到.在再研究函数的单调性即可得到结论.

（3）由可得.需证任意，恒成立，等价证明.然后研究函数，通过求导求出函数的最大值.研究函数，通过求导得出函数的.再根据不等式的传递性可得结论.

（1）由得，，

所以曲线y=在点(1，)处的切线斜率为，

，曲线y=切线方程为，

假设切线过点(2，0)，代入上式得：，得到0=1产生矛盾，所以假设错误，

故曲线y=在点(1，)处的切线不过点(2，0） 4分

（2）由得

，，所以在(0，1]上单调递减，故 7分

（3）令，当=1时，，所以..

因此，对任意，等价于. 9分

由，.所以.

因此，当时，，单调递增；时，，单调递减.

所以的最大值为，故. 12分

设，，所以时，单调递增，，

故时，，即.

所以.

因此，对任意，恒成立 14分

考点：1.导函数的几何意义.2.函数的极值.3.导数应用.4.通过不等式的传递性证明不等式.