Question

已知点P（4，3）
（1）若过点P的直线l₁在坐标轴上的截距相等，求l₁的方程；
（2）若过点P的直线l₂与原点的距离为4，求l₂的方程；
（3）若过点P的直线l₃的直线交x轴正半轴于A点，交y轴正半轴于B点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，求l₃的方程．

Answer 1

考点：待定系数法求直线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）分直线过原点和不过原点设出直线方程，然后把点（4，3）代入直线方程，求出斜率后直线方程可求．
（2）直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，再利用待定系数法根据点到直线的距离公式建立等量关系，求出斜率；
（3）由题意可设直线l₃的方程为

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．由于直线l₃过点P（4，3），代入直线方程得到

4

a

+

3

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值时a，b，即可得到直线l₃的方程．

解答： 解：（1）当直线过原点时，斜率等于

3

4

，故直线的方程为y=

3

4

x，即3x-4y=0．
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y+m=0，把P（4，3）代入直线的方程得m=-7，
故求得的直线方程为x+y-7=0，
综上，满足条件的直线方程为3x-4y=0或x+y-7=0；
（2）过P点的直线l₂与原点距离为4，而P（4，3），可见，过P（4，3）垂直于x轴的直线满足条件．
此时l₂的斜率不存在，其方程为x=4．
若斜率存在，设l₂的方程为y-3=k（x-4），即kx-y+4k-3=0．
由已知，过P点与原点距离为2，得

|4k-3|

k2+1

=4，解之得k=-

7

24

．
此时l₂的方程为7x+4y-100=0．
综上，可得直线l₂的方程为x=4或7x+4y-100=0．
（3）由题意可设直线l₃的方程为

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．
∵直线l₃过点P（4，3），
∴

4

a

+

3

b

=1．
∴

4

a

+

3

b

=1≥2

12 ab

，
∴ab≥48，当且仅当

4

a

=

3

b

，即a=2，b=6是取等号．
此时△AOB的面积取得最小值，l₃的方程为

x

2

+

y

6

=1．

点评：本题考查了直线的方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．