Question

5．已知O为坐标原点，A，B，C是圆O上的三点，若$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），|$\overrightarrow{BC}$|=2，过点D（2，0）的直线l与圆O相切，则直线l的方程是x+$\sqrt{3}$y-2=0或x-$\sqrt{3}$y-2=0．

Answer 1

分析 由中点的向量表示形式可得O为BC的中点，且圆的半径为1，设过D（2，0）的直线为y=k（x-2），运用直线和圆相切的条件：d=r，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求方程．

解答 解：若$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），可得
O，B，C三点共线，且O为BC的中点，
|$\overrightarrow{BC}$|=2，可得圆的半径为1，
即圆O的方程为x²+y²=1，
设过D（2，0）的直线为y=k（x-2），
由直线和圆相切的条件，可得
$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有切线的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）．
故答案为：x+$\sqrt{3}$y-2=0或x-$\sqrt{3}$y-2=0．

点评 本题考查切线方程的求法，注意运用中点向量的表示和直线和圆相切的条件：d=r，考查点到直线的距离公式，以及运算能力，属于中档题．