题目内容

若a＞2，则函数f（x）=x³-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为

A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个

B
分析：根据a＞2，分析导函数的符号，确定函数的单调性，验证f（0），f（2）的符号，结合图象可知函数f（x）=x³-3ax+3 在（0，2）上的零点个数．
解答：

解：∵函数f（x）=x³-3ax+3
∴f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）=3（x+ $\text{[math]}$ ）（x- $\text{[math]}$ ），
∵a＞2，
令f′（x）＞0得x＞ $\text{[math]}$ ，得函数f（x）在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
令f′（x）＜0可得0＜x＜ $\text{[math]}$ ，得函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上是减函数，
而f（0）=3＞0，f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）³-3a $\text{[math]}$ +3=3-2a $\text{[math]}$ ＜0，
∴函数f（x）=x³-3ax+3在（0， $\text{[math]}$ ）上零点有一个．
又f（2）=2³-3a×2+3=11-6a＜0，
∴函数f（x）=x³-3ax+3在（ $\text{[math]}$ ，2）上没有零点．
则函数f（x）=x³-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为1，
故选B．
点评：此题是基础题．考查函数零点的判定定理，以及利用导数研究函数的单调性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．