Question

1．已知函数f（x）=e^x-ax+1，其中a为实常数，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（3）已知a＞0，并设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为e^x≥a恒成立，从而求出a的范围即可；
（3）求出f（x）的最小值，问题转化为只需证明g_max（a）≤2，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）函数的定义域：R  …（1分）
当a=e时，f'（x）=e^x-e…（2分）
令f'（x）=0解得x=1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
所以f（x）的单调递减区间是（-∞，1），递增区间是（1，+∞）…（5分）
（2）因为f（x）在定义域内单调递增，
则f'（x）=e^x-a≥0在R上恒成立…（6分），
即e^x≥a恒成立，e^x＞0…（7分）所以a≤0．…（8分）
（3）证明：f'（x）=e^x-a
当a＞0时令f'（x）=0，解得x=lna，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
所以g（a）=f_min（x）=f（lna）=a-alna+1…（9分）
要证明g（a）≤2，则只需证明g_max（a）≤2…（10分）
而g'（a）=-lna令g'（a）=0，解得a=1，…（11分）
令g′（a）＞0，解得：a＜1，令g′（a）＜0，解得：a＞1，
所以g_max（a）=g（1）=2≤2成立．
∴g（a）≤2…（12分）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．