Question

4．为了研究学生喜爱打篮球是否与性别有关，某兴趣小组对本班48名同学进行了问卷调查，得到了如下列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生	22	6	28
女生	10	10	20
合计	32	16	48

（Ⅰ）判断是否有95%的把握认为喜爱篮球与性别有关？请说明理由；
（Ⅱ）若从女同学中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女同学人数为X，求X的分布列与期望．
附：K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²≈4.286＞3.841，从而有95%的把握认为喜爱打篮球别有关；
（Ⅱ）喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{{48×{{（22×10-10×6）}^2}}}{32×16×28×20}≈4.286$
因为4.286＞3.841，所以有95%的把握认为喜爱打篮球别有关
（Ⅱ）喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0，1，2，
则$P（X=0）=\frac{{C_{10}^0C_{10}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{9}{38}$，
$P（X=1）=\frac{{C_{10}^1C_{10}^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{10}{19}$，
$P（X=2）=\frac{{C_{10}^2C_{10}^0}}{{C_{20}^2}}=\frac{9}{38}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{9}{38}$	$\frac{10}{19}$	$\frac{9}{38}$

所以$E（X）=0×\frac{9}{38}+1×\frac{10}{19}+2×\frac{9}{38}$=1．

点评 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．