Question

设曲线C的方程是y=x³－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁.

（Ⅰ）写出曲线C₁的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C₁关于点A（）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：曲线C1的方程为y＝（x－t）3－（x－t）＋s． （Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1），设B2（x2，y2） 是B1关于点A的对称点，则有． 所以x1＝t－x2，y1＝s－y2． 代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：s－y2＝（t－x2）3－（t－x2）， 即y2＝（x2－t）3－（x2－t）＋s 可知点B2（x2，y2）在曲线C1上. 反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上，因此，曲线C与C1关于点A对称. （Ⅲ）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点 所以方程组有且仅有一组解 消去y整理得3tx2－3t2x＋（t3－t－s）＝0 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t≠0并且其根的判别式Δ＝9t4－12t（t3－t－s）＝0 即，∴s＝－t且t≠0.