Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1-4a_n=2²ⁿ⁺¹，则数列{${\frac{a_n}{4^n}}\right.$}的前n项和为$\frac{n}{2}$．

Answer 1

分析 根据数列的递推公式得到{a_n+2²ⁿ}是以6为首项以4为等比的等比数列，即可求出a_n的通项公式，继而得到数列{${\frac{a_n}{4^n}}\right.$}为常数列，问题得以解决．

解答 解：∵a_n+1-4a_n=2²ⁿ⁺¹，
∴a_n+1+2²ⁿ⁺¹=4（a_n+2²ⁿ），
∵a₁+2²=2+4=6，
∴{a_n+2²ⁿ}是以6为首项以4为等比的等比数列，
∴a_n+2²ⁿ=6×4^n-1，
∴a_n=6×4^n-1-2²ⁿ=$\frac{1}{2}$×4ⁿ，
∴${\frac{a_n}{4^n}}\right.$=$\frac{1}{2}$
∴数列{${\frac{a_n}{4^n}}\right.$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
故答案为：$\frac{n}{2}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和等比数列的通项公式，以及前n项和公式，属于中档题．