Question

20．如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是AB'，BC'的中点．
（Ⅰ）若M为BB'的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD；
（II）在（1）的条件下，当正方体的棱长为2时，求三棱锥M-EBF的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出ME∥AB，MF∥B′C′∥BC，由此能证明平面EMF∥平面ABCD．
（2）三棱锥M-EBF的体积V_M-EBF=V_B-MEF，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵在正方体ABCD-A'B'C'D'中，
E，F分别是AB'，BC'的中点，M为BB'的中点，
∴ME∥AB，MF∥B′C′∥BC，
∵ME∩MF=M，AB∩BC=B，ME，MF?平面MEF，AB，BC?平面ABCD，
∴平面EMF∥平面ABCD．
解：（2）∵E，F分别是AB'，BC'的中点，M为BB'的中点，
∴ME$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB=1，MF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC=1，BM⊥平面MEF，BM=1，
∵AB⊥BC，∴EM⊥MF，
∴S_△MEF=$\frac{1}{2}×ME×MF$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴三棱锥M-EBF的体积：
V_M-EBF=V_B-MEF=$\frac{1}{3}×{S}_{△BEF}×BM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．