Question

13．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（-1，0）对称；③当x∈（-4，0）时，$f（x）={log_2}（\frac{x}{{{e^{|x|}}}}+{e^x}-m+1）$，若y=f（x）在x∈[-4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为[-3e^-4，1）∪{-e^-2}．

Answer 1

分析 可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（-4，0）时，$f（x）={log_2}（\frac{x}{{{e^{|x|}}}}+{e^x}-m+1）$，有1个零点，从而转化为xe^x+e^x-m=0在（-4，0）上有1个不同的解，再令g（x）=xe^x+e^x-m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．

解答 [-3e^-4，1）∪{-e^-2}
解：∵曲线y=f（x+1）关于点（-1，0）对称；
∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；∴f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（-4）=0，
而y=f（x）在x∈[-4，4]上恰有5个零点，
故x∈（-4，0）时，$f（x）={log_2}（\frac{x}{{{e^{|x|}}}}+{e^x}-m+1）$有1个零点，
x∈（-4，0）时f（x）=log₂（xe^x+e^x-m+1），
故xe^x+e^x-m=0在（-4，0）上有1个不同的解，
令g（x）=xe^x+e^x-m，
g′（x）=e^x+xe^x+e^x=e^x（x+2），
故g（x）在（-4，-2）上是减函数，在（-2，0）上是增函数；
而g（-4）=-4e^-4+e^-4-m，g（0）=1-m=-m，g（-2）=-2e^-2+e^-2-m，
而g（-4）＜g（0），
故-2e^-2+e^-2-m-1＜0＜-4e^-4+e^-4-m-1，
故-3e^-4≤m＜1或m=-e^-2
故答案为：[-3e^-4，1）∪{-e^-2}

点评 题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用．属于中档题．