Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若b²+c²=a²+bc，求角A的大小；
（2）若sin2A=2cosAsinB，判断三角形的形状；
（3）若cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求cosA，结合范围A∈（0°，180°），可求A的值．
（2）利用二倍角的正弦函数公式可求2cosAsinB=2sinAcosA，可得：cosA=0，或sinB=sinA，结合范围A，B∈（0°，180°），即可得解A=90°，或A=B，从而判断三角形的形状．
（3）由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，根据sinA≠0，可求tanB，进而可得B=60°，由a+c=1，利用余弦定理，二次函数的性质即可得解b的范围．

解答 解：（1）∵b²+c²=a²+bc，可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0°，180°），
∴A=60°．
（2）∵sin2A=2cosAsinB=2sinAcosA，
∴可得：cosA=0，或sinB=sinA，
∵A，B∈（0°，180°），
∴A=90°，或A=B，
故三角形的形状为等腰或直角三角形．
（3）∵由已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，可得：sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，
∵sinA≠0，
∴得tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=60°，
∴由a+c=1，余弦定理得：b²=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=1-3a（1-a）=3（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，a∈（0，1），
∴可得：$b∈[\frac{1}{4}，1）$．

点评 本题考查了余弦定理、三角函数恒等变换的应用、三角函数的内角和定理、二次函数的图象和性质，考查了转化思想和配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．