Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=2B，△ABC的面积S=$\frac{a^2}{4}$，则角A的大小为$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式，正弦定理，二倍角公式，诱导公式化简可得sinC=cosB=sin（$\frac{π}{2}$-B）＞0，可得B为锐角，可得：$\frac{π}{2}$-B=C，或$\frac{π}{2}$-B+C=π，利用三角形内角和定理分类讨论即可得解A的值．

解答 解：∵S=$\frac{a^2}{4}$，可得：a²=4S=4×$\frac{1}{2}$bcsinA=2bcsinA，
∴利用正弦定理可得：sin²A=2sinBsinCsinA，
∵sinA≠0，
∴sinA=2sinBsinC，
又∵A=2B，即sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴2sinBsinC=2sinBcosB，
∴由sinB≠0，可得：sinC=cosB=sin（$\frac{π}{2}$-B）＞0，
∴B为锐角，可得：$\frac{π}{2}$-B=C，或$\frac{π}{2}$-B+C=π，
∴当$\frac{π}{2}$-B=C时，A=π-（B+C）=$\frac{π}{2}$，
当$\frac{π}{2}$-B+C=π时，由A=2B，A+B+C=π，解得：A=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$或$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，二倍角公式，诱导公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．