Question

8．已知双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则抛物线的准线与双曲线的两交点为A，B，则|AB|的长为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线方程，利用待定系数法设出双曲线的方程，根据抛物线的焦点关系求出λ即可得到结论．

解答 解：由双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，可设双曲线的方程为${x^2}-\frac{y^2}{4}=λ$，
可知抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
则双曲线的焦点为（1，0），
即c=1，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{4λ}=1$（λ＞0）．
则a²=λ，b²=4λ，
则满足c²=a²+b²，
即λ+4λ=1，
∴$λ=\frac{1}{5}$，双曲线的方程为$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$，抛物线的准线为x=-1，
当x=-1时，代入$5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$得y=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即A（-1，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），B（-1，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
则|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线方程及性质的应用，利用待定系数法求出双曲线的方程是解决本题的关键．