Question

10．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥平面AA₁C₁C，BC=CA=AA₁=2，∠CAA₁=60°．
（1）求证：AC₁⊥A₁B；
（2）求直线A₁B与平面BAC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接CA₁，证明AC₁⊥平面BCA₁，即可证明AC₁⊥A₁B；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法求直线A₁B与平面BAC₁所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图，连接CA₁．   …（1分）
∵CA=AA₁，∴四边形AA₁C₁C为菱形，∴AC₁⊥CA₁．   …（2分）
∵BC⊥平面AA₁C₁C，∴AC₁⊥BC，…（3分）
又∵BC∩CA₁=C，…（4分）
∴AC₁⊥平面BCA₁，…（5分）
∴AC₁⊥A₁B．…（6分）
（2）解：如图，建立空间直角坐标系C-xyz，…（7分）
则B（0，0，2），${A_1}（\sqrt{3}，\;\;1，\;\;0）$，$A（\sqrt{3}，\;\;-1，\;\;0）$，C₁（0，2，0），
∴$\overrightarrow{B{A_1}}=（\sqrt{3}，\;\;1，\;\;-2）$，$\overrightarrow{BA}=（\sqrt{3}，\;\;-1，\;\;-2）$，$\overrightarrow{B{C_1}}=（0，\;\;2，\;\;-2）$．…（8分）
设$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$是平面BAC₁的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n\;•\;\overrightarrow{BA}=0\\ \overrightarrow n\;•\;\overrightarrow{B{C_1}}=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-2z=0\\ 2y-2z=0.\end{array}\right.$
令y=1，则z=1，$x=\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，\;\;1，\;\;1）$，…（10分）
∴$cos＜\overrightarrow n，\;\;\overrightarrow{B{A_1}}＞=\frac{{\overrightarrow n\;•\;\overrightarrow{B{A_1}}}}{{|\overrightarrow n|\;•\;|B{A_1}|}}=\frac{3+1-2}{{\sqrt{5}\;•\;\sqrt{8}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∴直线A₁B与平面BAC₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．