Question

13．若数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，则a_n+2+a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n是奇数}\\{4n}&{n是偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，分别讨论n是奇数和偶数时，利用方程组法进行求解即可．

解答 解：若n是偶数，则n+1是奇数，
则由a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1得a_n+1+a_n=2n-1，①
a_n+2+（-1）ⁿ⁺¹a_n+1=2（n+1）-1=2n+1，
即a_n+2-a_n+1=2n+1，③，
则两式相加得a_n+2+a_n=4n，
若n是奇数，则n+1是偶数，
则由a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1得a_n+1-a_n=2n-1，①
a_n+2+（-1）ⁿ⁺¹a_n+1=2（n+1）-1=2n+1，
即a_n+2+a_n+1=2n+1，③，
则两式相减得a_n+2+a_n=2，
综上a_n+2+a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n是奇数}\\{4n}&{n是偶数}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{2}&{n是奇数}\\{4n}&{n是偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查递推数列的应用，根据条件讨论n是奇数和偶数，建立方程组关系是解决本题的关键．