Question

10．在△ABC中，a²+b²=c²+ab，且cosAcosB=$\frac{1}{4}$，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由a²+b²=c²+ab，用余弦定理可求出C角，由已知及三角形内角和定理，两角和与差的余弦函数公式可求cos（A-B）=1，结合范围-π＜A-B＜π，从而解得A=B=60°=C，即可判断三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC．
∵a²+b²=c²+ab，
∴ab-2abcosC=0．
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴结合C为三角形内角，可得：C=60°，
∵cosAcosB=$\frac{1}{4}$，
∵cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{1}{4}$-sinAsinB=-$\frac{1}{2}$，
∴sinAsinB=$\frac{3}{4}$．
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0．
∴A=B=60°=C，
故：△ABC为等边三角形．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，两角和与差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．