Question

20．给出下列四个命题：
①函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，0）；
②已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则f（x）的解析式为f（x）=x²-|x|；
③函数y=$\frac{1}{|x|-1}$的图象可由函数y=$\frac{1}{|x|}$图象向右平移一个单位得到；
④函数y=$\frac{1}{|x|-1}$图象上的点到（0，1）距离的最小值是$\sqrt{3}$．
其中所有正确命题的序号是②④．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象所过定点判断①；求出函数解析式判断②；由函数的图象平移判断③；求出函数y=$\frac{1}{|x|-1}$图象上的点到（0，1）距离的最小值判断④．

解答 解：①，令f（x）=log_a（2x-1）-1的真数2x-1=1，可得y=-1，此时x=1，∴函数f（x）=log_a（2x-1）-1的图象过定点（1，-1），故①错误；
②，设x＞0，则-x＜0，∴f（x）=f（-x）=-x（-x+1）=x²-x，又当x≤0时，f（x）=x（x+1）=x²+x，∴f（x）=x²-|x|，故②正确；
③，把函数y=$\frac{1}{|x|}$图象向右平移一个单位得到y=$\frac{1}{|x-1|}$的图象，故③错误；
④，y=$\frac{1}{|x|-1}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x-1}，x≥0且x≠1}\\{-\frac{1}{x+1}，x＜0}\end{array}\right.$，其图象如图，

当x＞0时，函数y=$\frac{1}{|x|-1}$图象上的点到（0，1）距离为$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{x-1}-1）^{2}}=\sqrt{（t+1）^{2}+3}≥\sqrt{3}$，
当且仅当x-1-$\frac{1}{x-1}$=-1，即x²-x-1=0，x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时取“=”，故④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的图象平移及性质，是中档题．