题目内容
18．已知△ABC的三边|AB|=$\sqrt{13}$，|BC|=4，|AC|=1，动点M满足$\overrightarrow{CM}=λ\overrightarrow{CA}+μ\overrightarrow{CB}$，且λμ=$\frac{1}{4}$．（1）求cos∠ACB；
（2）求|$\overrightarrow{CM}$|的最小值．
分析 （1）直接利用余弦定理求得cos∠ACB的值．
（2）计算${\overrightarrow{CM}}^{2}$的值为λ2+$\frac{1}{{λ}^{2}}$+1，由此求得利用基本不等式求得它的最小值，可得|$\overrightarrow{CM}$|的最小值．
解答 解：（1）∵△ABC的三边|AB|=$\sqrt{13}$，|BC|=4，|AC|=1，
∴由余弦定理可得cos∠ACB=$\frac{{CA}^{2}{+CB}^{2}{-AB}^{2}}{2CA•CB}$=$\frac{1+16-13}{2•1•4}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CA}$+μ$\overrightarrow{CB}$，λμ=$\frac{1}{4}$，∴$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4λ}$$\overrightarrow{CB}$，
∴${\overrightarrow{CM}}^{2}$=λ2•${\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\frac{1}{1{6λ}^{2}}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$+2•$\frac{1}{4}$•$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=λ2+$\frac{1}{1{6λ}^{2}}$•16+$\frac{1}{2}$•4•1•cos∠ACB
=λ2+$\frac{1}{{λ}^{2}}$+1≥2+1=3，当且仅当λ=±1时，取等号，
故|$\overrightarrow{CM}$|的最小值为$\sqrt{3}$．
点评 本题主要余弦定理，求向量的模，基本不等式的应用，属于基础题．
